Liczba pi – Zmagania z ludolfiną

 

Źródło: histmag.org

Wojciech Andryszek

Trudno wyobrazić sobie naszą cywilizację bez liczby pi. Ta matematyczna stała jest obecna w wielu dziedzinach naszego życia. Często stanowi fundamentalny element ważnych praw i zagadnień, które pozwala opisać w elegancki sposób. I choćby dlatego od 1988 roku 14 marca obchodzimy międzynarodowy Dzień Liczby π.

Chyba wszyscy pamiętamy lekcje matematyki, na których z werwą lub przerażeniem liczyliśmy pole i obwód koła, objętość walca i stożka lub wodziliśmy wzrokiem za wykresami sinusów i cosinusów. Nieustannie towarzyszyła nam liczba π, czyli stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy.

Oczywiście ktoś, kto ma w sobie nieco rzymskiej, praktycznej duszy, chętniej złapałby za sznurek lub miarkę i bez problemu podał obwód wybranego słupa lub opony. I wielu przypadkach byłoby to zapewne słuszne posunięcie. Niestety, nie byłby to pomiar dokładny. Z takiego założenia wychodzili między innymi starożytni Grecy, którym problem wyznaczenia dokładnej wartości π wydawał się bardzo intrygujący.

Początki

Pierwsze źródła pisane, które wskazują na świadome stosowanie liczby π, pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, której powstanie datuje się na lata 1900–1680 przed Chrystusem, podano obwód koła o średnicy 1, który przybliżono liczbą 3,125.

Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π (il. John Reid, na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa – Na tych samych warunkach 3.0)

Ciekawostką jest, że jeden z cudów świata, jakim jest piramida Cheopsa, zawiera w swoich wymiarach liczbę π z dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Gdy badacze obliczyli stosunek sumy dwóch boków podstawy budowli do jej wysokości, okazało się, że wynosi 3,1416! Do dziś trwają dyskusje, czy to osobliwy przypadek, czy też jednym z budowniczych był nieznany nam geniusz. Przypomnijmy, że budowę piramidy ukończono około roku 2560 przed Chrystusem.

W 1858 roku w Luksorze Aleksander Henry Rhind – szkocki prawnik i egiptolog-amator – kupił pewien papirus powstały przed rokiem 1650 przed Chrystusem (jego autorem – lub tylko kopistą – był skryba faraona Ahmesa). Zabytek pochodził z nielegalnych wykopalisk prowadzonych w okolicach Ramesseum (kompleks świątynny wybudowany za panowania Ramzesa II w Tebach Zachodnich) i zawierał ponad osiemdziesiąt zadań matematycznych z różnych dziedzin. Na papirusie napisano między innymi:

Odrzuć od średnicy jej część dziewiątą i zbuduj kwadrat o boku równym pozostałej części, będzie on równoważny z kołem.

Mowa zatem o polu koła równym polu kwadratu, którego bok stanowi 8/9 średnicy tego koła. Wartość liczby π wyznaczonej na tej podstawie wynosiłaby 3,1604. Papirus, z którego pochodzi powyższe zadanie, znamy dziś jako Papirus Matematyczny Rhinda. Dokument ten jest prawdopodobnie kopią wcześniejszego pisma z czasów faraona Amenemhata III, który panował w latach 1853–1807 przed Chrystusem.

Papirus Rhinda

Na kalkulacje związane z π możemy natknąć się także w indyjskim tekście Shatapatha Brahmana, skomponowanym między VIII a VI wiekiem przed Chrystusem, choć zdaniem niektórych pochodzi on z IX wieku przed Chrystusem, a obliczeń dokonać miał astronom o imieniu Yajnavalkya. Wartość najbardziej znanej stałej matematycznej podana w tym dziele to 339/108, co daje 3,139.

Również Biblia

Obok źródeł babilońskich i egipskich zawierających odniesienia do liczby π, różni autorzy wymieniają często opis zawarty w biblijnej Drugiej Księdze Kronik. Czytamy w niej:

Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci. (Biblia Tysiąclecia, 2 Krn, 4, 2)

Na tej podstawie można wnioskować, że osoba wykonująca odlew uznała, iż stosunek długości obwodu do średnicy koła wynosi w przybliżeniu 3. Przypomnijmy, że cytowany tekst datowany jest na V–VI wiek przed Chrystusem.

Wracamy do Greków

Wielu autorów opracowań historycznych z dziedziny matematyki podkreśla, że starożytni na ogół traktowali liczbę π w sposób praktyczny. Wykorzystywali ją przy opisie określonych problemów, ilustrując je prostymi przykładami. Nie interesowali się naturą tej stałej i nie prowadzili na jej temat abstrakcyjnych rozważań.

To podejście zmieniło się w starożytnej Grecji głównie za sprawą słynnego Archimedesa, żyjącego w III wieku przed Chrystusem. Jest całkiem prawdopodobne, że grecki matematyk był pierwszym, który dokładniej analizował właściwości liczby π. Obliczył on jej wartość na 22/7 (w związku z czym 22 lipca obchodzony jest Dzień Aproksymacji π), ograniczając dokładność do dwóch miejsc po przecinku. W swojej pracy wykorzystał geometrię. Jego metoda polegała na wyznaczeniu długości boków dwóch figur – dziewięćdziesięciosześciokątów foremnych – z których jedna była wpisana w okrąg, a druga opisana na tymże okręgu. Na tej podstawie Archimedes obliczył średnią arytmetyczną wartość obwodów obydwu figur, uzyskując przybliżoną długość okręgu.

Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa (rys. Leszek Krupinski, na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa – Na tych samych warunkach 3.0)

Rachunki greckiego uczonego były bardzo czasochłonne i wymagały sporo cierpliwości. Mimo to zastosowana przez niego metoda była wielokrotnie wykorzystywana przez późniejszych matematyków. Archimedes próbował zresztą jeszcze dokładniej obliczyć wartość π, wykorzystując do tego figury o stu dziewięćdziesięciu dwóch kątach – niestety, bez powodzenia.

Liczyli dalej

W drugim wieku po Chrystusie Klaudiusz Ptolemeusz, grecki uczony z Tebaidy, oszacował π na 3,1416, używając do tego figur o 360 kątach. Nieco później, w roku 263, chiński matematyk Liu Hui obliczył, że π mieści się w przedziale od 3,141024 do 3,142708 – zrobił to, stosując figury mające 96 i 192 kąty. Średnia z tych liczb pozwoliła mu wyznaczyć wartość π na 3,1418. Wkrótce Liu Hui zanotował także dokładniejszy wynik: 3,1416.

Należy również wspomnieć innego chińskiego matematyka, Zu Chongzhi, który około roku 500 podał dwa przybliżenia liczby π. Najpierw uzyskał wynik zbliżony do uzyskanego przez Archimedesa, a nieco później doszedł do wartości 355/113 (3,14159). Ta liczba była najdokładniejszym znanym człowiekowi przybliżeniem stałej π, aż do XV wieku. Chongzhi używał tej samej metody co Archimedes, ale najprawdopodobniej nie miał styczności z jego pracami. Co ciekawe, aż do końca I wieku podawane przez różnych uczonych obliczenia π nie przekraczały kilku cyfr po przecinku.

W tym miejscu warto zaznaczyć, że w XII wieku żydowski filozof i lekarz Mojżesz Majmonides zasugerował, że π może być liczbą niewymierną. Jak pamiętamy ze szkoły, liczby niewymierne to takie, których nie możemy zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: całkowitej i naturalnej, różnej od 0.

Kalkulacje związane z opisywaną przez nas stałą matematyczną zmieniły charakter w roku 1400. Wówczas to hinduski matematyk Madhava, jako pierwszy uczony w historii wykorzystał w rachunkach tak zwane ciągi nieskończone. Na ich podstawie podał dwa sposoby obliczania wartości π i uzyskał wyniki z dokładnością do 11, a nieco później do 13 miejsc po przecinku. Żyjący w tym samym czasie irański (perski) matematyk i astronom Ghyath ad-din Jamshid Kashani uzyskał wynik dla 2π, dzięki któremu poprawił dokładność obliczeń Madhavy o 3 cyfry.

Wzór odkryty przez Madhavę, pojawił się w 1674 roku w pracach matematyków Leibniza i Gregory’ego. Ciekawostką jest, że aby obliczyć przy pomocy ich wzoru wartość π z dokładnością do 10 miejsc po przecinku, należałoby dodać do siebie około 5 miliardów wyrazów! Nieco wcześniej, bo w roku 1656 John Wallis został pierwszym Europejczykiem stosującym ciągi nieskończone do przybliżenia liczby π. Swoje wyniki opisał w dziele Arithmetica infinitorum, w którym podał prostą metodę obliczania π.

Już kilkadziesiąt lat wcześniej, w 1596 roku, Ludolph van Ceulen podał przybliżenie liczby π z dokładnością do 20 cyfr po przecinku, który to wynik opisał dziele Van den Circkel. Pod koniec życia Ceulen uzyskał dokładność większą o kolejnych 15 cyfr – do 35 miejsc po przecinku. Było to nie lada osiągnięcie tym bardziej, że w swojej pracy uczony zastosował metodę zaproponowaną przez Archimedesa. W rachunkach wykorzystywał wielobok o 262 bokach. W dowód uznania wynik Ceulena wyryto na jego nagrobku, a liczbę π często nazywa się od jego imienia – ludolfiną.

Wciąż więcej o π

Z biegiem lat różni uczeni podawali coraz dokładniejsze wyniki, a w międzyczasie matematykom udało się odkryć i udowodnić ciekawe właściwości liczby π. Jak pamiętamy, Mojżesz Majmonides zasugerował, że liczba π może być niewymierna. W XVII wieku słynny uczony Christiaan Huygens podkreślał, że nauka nic nie wie na temat wymierności lub niewymierności tej stałej. Mimo że w XVIII wieku wśród matematyków panowało powszechne przekonanie, iż π jest niewymierna, wciąż brakowało rozstrzygającego dowodu. Pierwszą udaną próbę jego dostarczenia podjął w 1767 roku szwajcarski matematyk Johann Lambert.

W międzyczasie matematycy publikowali kolejne rekordy ilości cyfr po przecinku uzyskiwanych w trakcie szacowania stałej π. I tak w 1853 roku William Rutherford obliczył wartość ludolfiny z dokładnością do 440 cyfr. W 1872 roku padł rekord Williama Shanksa, który w ciągu 15 lat obliczył π z dokładnością do 707 miejsc po przecinku. Niestety, niedługo potem okazało się, że ostatnich 180 cyfr było błędnych i ostatecznie wynik Shanksa zawierał ich 527.

Dziesięć lat później, w 1882 roku, Ferdinand Lindemann rozstrzygnął jeden z podstawowych problemów związanych z liczbą π. Niemiecki matematyk wykazał, że jest ona liczbą przestępną. Oznaczało to, że π nie może być pierwiastkiem (rozwiązaniem) równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Tym samym Lindemann rozwiązał jeden z najsłynniejszych problemów starożytności, to jest problem kwadratury koła.

Idea polegała na tym, aby skonstruować kwadrat, którego powierzchnia byłaby równa powierzchni danego koła, używając tylko i wyłącznie cyrkla oraz linijki. Bardzo szybko okazało się, że zadanie wymaga wyznaczenia odcinka o długości π. Już w V wieku przed Chrystusem Hippokrates z Chios zauważył, że pole koła jest proporcjonalne do kwadratu jego promienia. Na przestrzeni dwóch tysięcy lat uczeni podejmowali różne próby rozwiązania tego problemu. Jak podają Krzysztof Ciesielski i Zdzisław Pogoda w książce Diamenty matematyki, autorem jednej z najbardziej eleganckich a jednocześnie najdokładniejszych metod pozwalających na przybliżoną kwadraturę koła był nadworny zegarmistrz króla Jana III Sobieskiego – Adam Adamandy Kochański.

Kwadratura koła według Kochańskiego (il. 4C, Volker Plass, na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa – Na tych samych warunkach 3.0)

Dowód Lindemanna wskazywał, że aby rozwiązać problem kwadratury koła, należało skonstruować odcinek będący pierwiastkiem z π, który stanowiłby jednocześnie bok kwadratu. Oznaczało to, że kwadratura koła jest niewykonalna.

W dobie komputerów

Przyjmuje się, że ostatnie przybliżenie liczby π uzyskane tradycyjnymi metodami miało miejsce w 1946 roku, kiedy uczony nazwiskiem Ferguson obliczył wartość π z dokładnością do 620 cyfr. Warto jednak podkreślić, że w końcowych obliczeniach wykorzystywał kalkulator. Od tego czasu kolejne wartości stałej π podawane są dzięki wykorzystaniu możliwości komputerów. W 1949 roku John von Neumann, wykorzystując komputer ENIAC, obliczył π z dokładnością do 2037 miejsc po przecinku. Maszyna liczyła przez około 70 godzin.

Komputer ENIAC

W 1974 roku Guillod i Boyer uzyskali rozwinięcie π z dokładnością do miliona cyfr. W 1995 roku podano rozwinięcie, które miało ich 6 442 450 000. Komputery liczyły przez 5 dni. W 2010 roku francuski informatyk Bellard obliczył π z dokładnością sięgającą 2,7 biliona cyfr.

Dlaczego akurat π?

Π pochodzi oczywiście z alfabetu greckiego i jest to znak powszechnie stosowany jako oznaczenie stosunku długości obwodu koła do długości jego średnicy. Po raz pierwszy symbol ten wykorzystał William Jones w 1706 roku w swoim dziele Synopsis Palmariorum Matheseos. Znak był nawiązaniem do pierwszej litery słowa perimetron, które oznaczało obwód lub peryferie.

Oznaczenie nie zyskało z początku uznania wśród matematyków. Przyjęło się głównie za sprawą Leonarda Eulera, który wykorzystał je w swoim dziele Analiza. Π pojawiało się też jednak wcześniej w pracach innych uczonych. Znaczący wpływ na upowszechnienie się symbolu π przypisuje się także dziełu H. Sherwina pt. Mathematical Tables, z 1742 roku.

Nie tylko matematyka

Liczba π znalazła swoje miejsce również w naszej kulturze. W celu ułatwienia zapamiętania kolejnych cyfr na całym świecie tworzy się różne wiersze i rymowanki. Jednym z najczęściej przytaczanych jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku:

Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz…
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!

Ciekawy wiersz powstał również podczas Mundialu w Argentynie, w 1978 roku:

Już i Lato i Deyna
strzelili do bramki obcej
dwa karne
Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha
gdy on tak wypuścił cios szacha
że zdobyć musi cel gry
krzyknął Gol na Mundial Argentyna

Plakat promujący film „Pi” Darrena Aronofskiego (1998 r.) Π inspiruje również pisarzy i twórców filmowych. Liczba ta pojawiła się w głośnym filmie Darrena Aronofsky’ego zatytułowanym właśnie Pi. Stała się także tematem jednego z wierzy zmarłej niedawno Wisławy Szymborskiej. Duże znaczenie nadał jej również Carl Sagan w słynnej powieści Kontakt. Postać o imieniu Pi była jednym z bohaterów polskiego programu edukacyjnego Przybysze z Matplanety emitowanego w latach 80. XX wieku.

Z liczbą π związane są także rekordy Guinnessa: Rajan Mahadevan zapamiętał 40 000 cyfr po przecinku wyznaczających wartość ludolfiny. Wymienia się także europejskiego rekordzistę (sawanta) Daniela Tammeta, który wyrecytował w ciągu 5 godzin i 9 minut 22 514 cyfr π.

Do czego to π jest potrzebne?

Π jest podstawą bardzo wielu wzorów i problemów. Przede wszystkim w geometrii, analizie matematycznej i teorii liczb. W świecie fizyki spotkać ją można choćby w słynnej Zasadzie Nieoznaczoności Heisenberga czy w równaniach Ogólnej Teorii Względności Einsteina. Na liczbę π natkniemy się także w innych dyscyplinach naukowych, jak informatyka, architektura czy budownictwo.

Początkowe cyfry liczby π: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036…

 

Bibliografia

  • Grzegorz Andrzejczak, Jan Kubarski, Andrzej Piątkowski, Matematyka. Encyklopedia szkolna, WSIP, Warszawa 1989.
  • Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda, Diamenty matematyki, Prószyński i S-ka, Warszawa 1996.
  • George G. Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London 2000.
  • Victor J. Katz (ed.), Annette Imhausen et al., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, Princeton 2007.
  • Clifford A. Pickover, A passion for mathematics: numbers, puzzles, madness, religion, and the quest for reality, John Wiley and Sons, Hoboken, New Jersey 2005.
  • Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, Pi: A Biography of the World’s Most Mysterious Number, Prometheus Books, Amher, New York 2004

 

Reklamy

One comment on “Liczba pi – Zmagania z ludolfiną

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s